Введение (напоминание основных понятий и определений линейной алгебры). Многообразие как поверхность в Rn. Касательное пространство, векторные поля, интервал, площадь и объем на вложенной поверхности. Нерелятивистская и релятивистская частицы, струны и D-браны. Отображения многообразий. Примеры отображений (вложения, проекции, диффеоморфизмы) Дифференциал отображения (поведение касательных векторов при отображениях). Векторные поля как инфинитезимальные диффеоморфизмы. Коммутатор векторных полей. Алгебра Ли векторных полей, конформная инвариантность струны. Локальные координаты. Запись отображения в локальных координатах. Глобальные и локальные свойства. Понятие ковариантности. Преобразование векторных полей при замене координат. Инвариантность коммутатора векторных полей Независимость физического содержания теории от выбора системы отсчета (принцип эквивалентности Эйнштейна). Тензорные поля. Примеры тензорных полей (метрический тензор, пуассонова и симплектическая структуры, комплексная структура) Поведение тензорных полей при отображениях. Понятие производной Ли, инвариантные векторные поля, симметрия, векторы Киллинга. Koвариантность условия симплектичности и пуассоновости. Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Гамильтоновы системы, уравнения Гамильтона, гамильтоновы потоки, канонические преобразования Дифференциальные формы и операции над ними.Внешняя алгебра многообразия Дифференциал де Рама. Замкнутые и точные формы. Лемма Пуанкаре. Ходжевское сопряжение. Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм. Уравнение самодуальности Суперполя, суперсимметрии, суперпространство. Общее понятие многообразия. Атлас, карты. Глобальные и локальные свойства. Комплекс де Рама. Когомологии. Топологическая интерпретация точечного заряда и эффект Ааронова-Бома. Алгебры Ли, Алгебра Ли векторных полей. Группы преобразований и их алгебры Ли Группы Ли (абстрактное определение). Группы Ли как группы преобразований. Лево- и право- инвариантные векторные поля на группе Симметрии физических систем (вращения, группы Лоренца и Пуанкаре, релятивистскаяинвариантность, группа симметрии пространства анти де Ситтера, конформная симметрия, внутренние симметрии). Векторные расслоения. Сечение расслоения. Структурная группа векторного расслоения. Главное расслоение ассоциированное с векторным. Касательное расслоение и кокасательное расслоение, расслоение локальных реперов. Операции с расслоениями. Тензорные поля как сечения соответствующих расслоений. Тривиальные и нетривиальные расслоения. Параллелизуемые многообразия. Связность в векторном (главном) расслоении. Форма связности. Кривизна. Уравнение Маурера-Картана, параллельный перенос. Поля Янга-Миллса. Калибровочные преобразования. Физические приложения (переход от глобальной внутренней симметрии к калибровочной, "удлинение производных"). Инварианты калибровочных преобразований, действие Янга-Миллса Интегрирование на многообразиях. Формы объема. Теорема Стокса. Плотности и полуплотности. Формы объема на римановых и симплектических многообразиях. Форма Лиувилля. Действия динамических систем на общих многообразиях. Действие Черна-Саймонса и других топологических моделей Риманова геометрия, метрическая связность, кривизна. ОТО (действие, уравнения Эйнштейна, общекоординатная инвариантность). Тетрадный формализм, Эйнштейн-Картан, супергравитация. Почти комплексные и комплексные структуры. Тензор кручения Ниенхейса. Голоморфные и антиголоморфные функции. Тензорные поля на комплексном многообразии. Дифференциалы Дольбо. Бикомплекс. Кэлеровы многообразия. Римановы поверхности. Конформные преобразования. Конформная инвариантность. Кэлерова S-модель. Элементы супергеометрии. Супермногообразия и супералгебры Ли Антискобка и D-оператор алгебра Баталина-Вылковысского. Поливекторы и дифференциальные формы, виттеновская реализация алгебры Баталина-Вылковысского.