Линейное пространство, подпространство, факторпространство. Линейные отображения между пространствами, комплексы, точные последовательности. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств, линейные функционалы, двойственное пространство, тензоры. Комплексификация и овеществление линейных пространств, вещественная форма. Градуировка и фильтрация на линейном пространстве. Ассоциативные алгебры, алгебры Ли. Отображения между алгебрами, гомоморфизмы, изоморфизмы. Понятия подалгебры, идеала и факторалгебры, понятия простой и полупростой алгебры; абелевы, нильпотентные, разрешимые и редуктивные алгебры Ли. Короткие точные последовательности алгебр. Алгебры Matn(C), Matn(R), gl(n,C), gl(n,R). Простота алгебр Matn(C) и Matn(R). Понятия модуля над алгеброй и представления алгебры. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления. Гомоморфизмы представлений, сплетающие операторы, лемма Шура. Понятия представления старшего веса, модуля Верма и контраградиентного модуля алгебры Ли sl(2,C). Реализация модуля Верма алгебры Ли sl(2,C) и контраградиентного к нему в пространстве полиномов от одной переменной. Понятие особого вектора и явное их нахождение для модуля алгебры Ли sl(2,C). Конечномерные неприводимые модули алгебры Ли sl(2,C). Весовые представления sl(2,C) без старшего и младшего веса. Расширения представлений sl(2,C). Примеры представлений sl(2,C) не являющихся весовыми. Классические группы Ли и их алгебры Ли. Определение группы, гомоморфизмы и изоморфизмы групп, подгруппы, нормальные подгруппы. Группа перестановок, конечные группы. Билинейные формы инвариантные относительно группы. Классические группы Ли GL(n), SL(n), O(n), SO(n), Sp(n), группы Евклида, Лоренца и Пуанкаре, группы U(n) и SU(n). Связь между группой Ли и алгеброй Ли для матричных групп. Алгебры Ли классических групп Ли. Билинейные формы инвариантные относительно алгебр Ли. Действие группы на множестве, представление группы, орбиты группы, присоединенное и коприсоединенное представление группы. Билинейные формы на представлениях групп и алгебр Ли, форма Киллинга. Подгруппы и подалгебры Картана, Борелевские подгруппы и подалгебры, верхние и нижние треугольные подгруппы и подалгебры, разложения Гаусса классических групп и алгебр Ли. Обертывающие алгебры алгебр Ли. Свободные ассоциативные алгебры и алгебры Ли, задание алгебры образующими и соотношениями. Обертывающая алгебра представления, универсальная обертывающая алгебра. Базис Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Связь между представлениями алгебры Ли и ее универсальной обертывающей. Универсальные обертывающие классических алгебр Ли. Центр универсальной обертывающей, операторы Казимира. Центр U(sl(2)) и универсальных обертывающих алгебр Лоренца и Пуанкаре. Понятие индуцированного представления, модули Верма классических алгебр Ли. Тензорные произведения ассоциативных алгебр и представлений, понятия коумножения, коассоциативность и кокоммутативность, язык коммутативных диаграмм, биалгебры и алгебры Хопфа. Реализация универсальной обертывающей алгебры Ли как пространства обобщенных функций на группе, структура алгебры Хопфа на универсальной обертывающей алгебры Ли. Тензорные произведения представлений алгебры Ли и контраградиентные модули. Тензорные произведения конечномерных неприводимых представлений sl(2,C), коэффициенты Клебша-Гордана. Представления классических алгебр Ли в пространствах тензоров. Двойственность Шура, представления симметрической группы и диаграммы Юнга, типы симметрии тензоров. Антикоммутирующие переменные, алгебры Грассмана, алгебры Клиффорда, связь между алгебрами Клиффорда и матричными алгебрами, комплексный и вещественный случай, периодичности, понятие супералгебры Ли, простейшие примеры, след и суперслед на ассоциативной алгебре. Спиноры как представления алгебры Клиффорда, матрица зарядового сопряжения, Майорановские и Вейлевские спиноры. Реализация представлений классических алгебр Ли в бозонных и фермионных Фоковских пространствах, двойственность Хау. Подалгебра Картана, корневые векторы, корневое разложение, базис Шевалле, решетки корней и весов. Весовые представления, представления старшего и младшего веса, решетка весов представления, характер представления, представления из "категории O". Простые корни, диаграммы Дынкина, классификация простых комплексных алгебр Ли, восстановление алгебры Ли по диаграмме Дынкина. Группа Вейля, камеры Вейля, доминантные веса, интегральные веса, элементы структурной теории модулей Верма, ряд Жордана-Гельдера для модуля Верма, кратности простых подфакторов, сингулярные, субсингулярные и т.д. векторы, теорема Каца-Каждана, строение "категории O", функтор сдвига. Когомологии Шевалле алгебр Ли, интерпретация младших когомологических групп, центральные расширения, аффинные алгебры, алгебра Вирасоро. Когомологии Хохшильда, элементы теории деформации, скобка Герштенхабера. Элементарнейшие понятия из теории категорий. Основные вычислительные средства: диаграммный поиск, леммы о "змее" и о пяти гомоморфизмах, длинные точные последовательности когомологий, алгебраическая гомотопия, тик-так-тэу процедура нахождения гомологий бикомплекса, резольвенты и простейшие спектральные последовательности. Вычисления когомологий с коэффициентами в конечномерных неприводимых представлениях для простых алгебр Ли и их подалгебр, резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда. Пуассоновы алгебры, деформации пуассоновых алгебр, понятие деформационного квантования. Группы Пуассона-Ли, скобка Склянина, квантовые группы. Квантовые универсальные обертывающие полупростых алгебр Ли, квазитензорные категории, универсальная R матрица, уравнение Янга-Бакстера. Квантовая sl(2), представления при общем параметре деформации. Квантовая sl(2) и ее представления в корне из единицы, бесконечно-мерный центр.