ОТО и введение в релятивистскую астрофизику

Лектор: М.И.Зельников

Часть I - Тензорный анализ ОТО

1. Принципы построения теории гравитации Систематика Дике. Принцип эквивалентности. Его экспериментальная проверка. Пример: Действие для частицы в гравитационном поле. Метрика. Ньютоновский предел.
2. Классические тесты ОТО Отклонение лучей света полем Солнца, запаздывание радиосигналов, прецессия перигелия Меркурия. Дальнейшие проверки: колебания орбиты Луны, пульсар в двойной системе. Правила построения гравитационной физики из принципа эквивалентности.
3. Тензоры Геодезические. Уравнение геодезической в общей параметризации и афинные параметры. Тензоры и операции над ними. Полезные формулы тензорного анализа.
4. Ковариантная производная Символ Кристоффеля. Вывод из уравнения прямой. Его изменение при замене системы отсчета. Ковариантная производная и ее свойства.
5. Тензор Римана и его (локальные) свойства Алгебраические свойства тензора Римана. Подсчет независимых компонент. Тензоры Риччи, Эйнштейна, Вейля. Количество их компонент. Количество возможных скалярных инвариантов.
6. Единственность тензора Римана Невозможность построения тензора из первых производных метрики. Единственность тензора, линейно зависящего от вторых производных.
7. Физические эффекты кривизны Параллельный перенос. Обнос по замкнутому контуру. Коммутатор ковариантных производных. Уравнение девиации геодезических.
8. Нелокальные свойства тензора Римана Теоремы о равенстве нулю тензора Римана и тензора Вейля. Тождества Бьянки.
9. Операторы Векторы и операторный язык. Коммутатор. Оператор кривизны. Операторный вывод уравнения девиации геодезических.
10. Перенос Ли Конгруэнция гладких кривых. Физическая необходимость процедур переноса тензоров. Перенос Ли и производная Ли. Определение производной Ли через процедуру переноса тензоров. Формула для производной Ли в компонентах. Свойства производной Ли. Тождество для коммутатора производных Ли.
11. Перенос Ферми-Уокера Перенос Ферми-Уокера. Перенос гироскопа. Прецессия Томаса. Сравнение 3-х переносов: параллельного, Ли, Ферми-Уокера.
12. Одновременность в ОТО Понятие одновременности событий. Условие синхронизации часов.
13. Новые понятия в ОТО Гауссова нормальная система координат. Степени свободы систем координат, векторных полей и конгруэнций. Интегрирование в кривом пространстве. Теоремы Стокса. Метрика на гиперповерхности одновременности.
14. Вектора Киллинга и их свойства Изометрия и вектор Киллинга. Уравнение Киллинга. Свойства векторов Киллинга. Векторы Киллинга. Свойство 2-й производной вектора Киллинга. Разложение произвольного вектора Киллинга в точке. Максимально возможное число векторов Киллинга. Вектора Киллинга и законы сохранения
15. Внешняя кривизна Индуцированная метрика и внешняя кривизна на гиперповерхности Симметрия внешней кривизны. Тензор внешней кривизны в произвольном базисе. Его связь с производной Ли проекционного оператора, с ускорением кривой по нормали к гиперповерхности.
16. Вычисление внешней кривизны в частных случаях Внешняя кривизна поверхности постоянного времени. Уравнения Гаусса-Кодацци.
17. Действие Эйнштейна Общий вид действия для гравитации. Формулы для вариаций различных входящих в него величин. Варьирование гравитационного действия. Уравнения Эйнштейна. Проблема вариации на границе. Поверхностный член и его вариация. Тензор энергии-импульса. Уравнения Эйнштейна с веществом.

Часть II - Релятивистская астрофизика

1. Симметрии действия. Общая формула вариации действия.
2. Инвариантность действия при конечномерных преобразованиях: 1-я теорема Нетер.
3. Инвариантность при бесконечномерных (калибровочных) преобразованиях: 2-я теорема Нетер. Связи и тождества Нетер. Количество степеней свободы.
4. Связи и тождества Нетер в электродинамике и гравитации.
5. Решение уравнений Эйнштейна по теории возмущений. Возмущения метрики как калибровочные поля. Калибровочные преобразования для возмущений метрики. Тензор с обратным следом.
6. Калибровка Лоренца. Поперечно-бесследовая калибровка.
7. Линеаризованный тензор Римана. Линеаризованные уравнения Эйнштейна.
8. Коротковолновое приближение. Распространение гравитационных волн. Тензор энергии-импульса гравитационных волн.
9. Излучение гравитационных волн.
10. Сферически-симметричные решения уравнений Эйнштейна. Определение сферической симметрии. Общий вид сферически-симметричной метрики. Обобщенная теорема Биркгофа.
11. Сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна в пустоте. Метрика Шварцшильда. Шварцшильдовские черные дыры.
12. Смысл особенностей в центре и на гравитационном радиусе в метрике Шварцшильда. Ускорение покоящегося наблюдателя.
13. Радиальное падение безмассовой и массивной частиц. Гравитационное красное и фиолетовое смещения. Классификация траекторий в метрике Шварцшильда.
14. Вывод формулы для прецессии перигелия Меркурия.
15. Черные дыры. Горизонт событий. Сингулярность. Ловушечная поверхность. Принцип космической цензуры. Теорема Хокинга.
16. Теорема "об отсутствии волос" у черных дыр. Параметры стационарных черных дыр. Метрики Керра, Керра-Ньюмана, Рейсснера-Нордстрема.
17. Пространство-время вращающейся черной дыры Керра. Горизонт, предел статичности и эргосфера.
18. Небесная механика в геометрии Керра. Траектории с отрицательной энергией. Идея Пенроуза об извлечении энергии из вращающихся черных дыр.
19. Максимально-симметричные пространства. Алгебра векторов Киллинга и геометрия.
20. Однородность, изотропия и теоремы о них. Максимальная симметрия и ее связь с однородностью и изотропией.
21. Тензор Римана максимально-симметричного пространства. Пространства постоянной кривизны. Конформная плоскостность. Координатная эквивалентность.
22. Метрика максимально-симметричного пространства. Пространства Лобачевского, де-Ситтера, анти-де-Ситтера.
23. Метрика пространства с максимально-симметричным подпространством. Пространственно однородные и изотропные решения.
24. Уравнения Эйнштейна с метрикой Робертсона-Уокера. Ограничения на вещество.
25. Решения Фридмана для излучения, пыли и космологической постоянной.
26. Разбегание галактик. Движение массивных и безмассовых частиц в расширяющейся вселенной. Космологическое красное смещение.
27. Способы измерения расстояний в расширяющейся вселенной. Эффект линзы. Парадокс Ольберса.
28. Теория горячей вселенной. Реликтовое излучение.
29. Проблемы плоскостности и горизонта. Инфляция (раздувание) как решение этих проблем.
30. Скалярное поле как генератор раздувания. Теория инфляции.
31. Генерация неоднородностей в инфляции. Проблема разогрева. Полная история Вселенной.
32. Гравитационная неустойчивость. Теория Джинса.
33. Гравитационная неустойчивость в расширяющейся вселенной. Скалярные, векторные и тензорные моды, их смысл.

Литература

1. А.Лайтман, В.Пресс, Р.Прайс, С.Тюкольски. Сборник задач по общей теории относительности и гравитации. М:, Мир, 1979
2. К.Уилл. Теория и эксперимент в гравитационной физике. М:, Мир, 1975
3. С.Вейнберг. Гравитация и космология. М:, Мир, 1975
4. Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация, тт.1-3, М:, Мир, 1977
5. Л.Ландау, Е.Лифшиц. Теоретическая физика, т.2: "Теория поля", М:, Наука, 1988
6. А.Д.Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М:, Наука, 1990
7. И.Д.Новиков, В.П.Фролов. Физика черных дыр. М:, Наука, 1986