Теория групп и представлений
Лектор: М.А.Григорьев
Актуальные материалы (весна 2017).
- Линейное пространство, подпространство, факторпространство. Линейные отображения между пространствами, комплексы, точные последовательности. Прямая сумма и тензорное произведение линейных пространств, линейные функционалы, двойственное пространство, тензоры. Комплексификация и овеществление линейных пространств, вещественная форма. Градуировка и фильтрация на линейном пространстве.
- Ассоциативные алгебры, алгебры Ли. Отображения между алгебрами, гомоморфизмы, изоморфизмы. Понятия подалгебры, идеала и факторалгебры, понятия простой и полупростой алгебры; абелевы, нильпотентные, разрешимые и редуктивные алгебры Ли. Короткие точные последовательности алгебр. Алгебры Matn(C), Matn(R), gl(n,C), gl(n,R). Простота алгебр Matn(C) и Matn(R).
- Понятия модуля над алгеброй и представления алгебры. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления. Гомоморфизмы представлений, сплетающие операторы, лемма Шура.
- Понятия представления старшего веса, модуля Верма и контраградиентного модуля алгебры Ли sl(2,C). Реализация модуля Верма алгебры Ли sl(2,C) и контраградиентного к нему в пространстве полиномов от одной переменной.
- Понятие особого вектора и явное их нахождение для модуля алгебры Ли sl(2,C). Конечномерные неприводимые модули алгебры Ли sl(2,C). Весовые представления sl(2,C) без старшего и младшего веса. Расширения представлений sl(2,C). Примеры представлений sl(2,C) не являющихся весовыми.
- Классические группы Ли и их алгебры Ли. Определение группы, гомоморфизмы и изоморфизмы групп, подгруппы, нормальные подгруппы. Группа перестановок, конечные группы. Билинейные формы инвариантные относительно группы.
- Классические группы Ли GL(n), SL(n), O(n), SO(n), Sp(n), группы Евклида, Лоренца и Пуанкаре, группы U(n) и SU(n).
- Связь между группой Ли и алгеброй Ли для матричных групп. Алгебры Ли классических групп Ли. Билинейные формы инвариантные относительно алгебр Ли.
- Действие группы на множестве, представление группы, орбиты группы, присоединенное и коприсоединенное представление группы. Билинейные формы на представлениях групп и алгебр Ли, форма Киллинга.
- Подгруппы и подалгебры Картана, Борелевские подгруппы и подалгебры, верхние и нижние треугольные подгруппы и подалгебры, разложения Гаусса классических групп и алгебр Ли.
- Обертывающие алгебры алгебр Ли. Свободные ассоциативные алгебры и алгебры Ли, задание алгебры образующими и соотношениями.
- Обертывающая алгебра представления, универсальная обертывающая алгебра. Базис Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
- Связь между представлениями алгебры Ли и ее универсальной обертывающей. Универсальные обертывающие классических алгебр Ли.
- Центр универсальной обертывающей, операторы Казимира. Центр U(sl(2)) и универсальных обертывающих алгебр Лоренца и Пуанкаре. Понятие индуцированного представления, модули Верма классических алгебр Ли.
- Тензорные произведения ассоциативных алгебр и представлений, понятия коумножения, коассоциативность и кокоммутативность, язык коммутативных диаграмм, биалгебры и алгебры Хопфа.
- Реализация универсальной обертывающей алгебры Ли как пространства обобщенных функций на группе, структура алгебры Хопфа на универсальной обертывающей алгебры Ли.
- Тензорные произведения представлений алгебры Ли и контраградиентные модули. Тензорные произведения конечномерных неприводимых представлений sl(2,C), коэффициенты Клебша-Гордана.
- Представления классических алгебр Ли в пространствах тензоров. Двойственность Шура, представления симметрической группы и диаграммы Юнга, типы симметрии тензоров.
- Антикоммутирующие переменные, алгебры Грассмана, алгебры Клиффорда, связь между алгебрами Клиффорда и матричными алгебрами, комплексный и вещественный случай, периодичности, понятие супералгебры Ли, простейшие примеры, след и суперслед на ассоциативной алгебре.
- Спиноры как представления алгебры Клиффорда, матрица зарядового сопряжения, Майорановские и Вейлевские спиноры.
- Реализация представлений классических алгебр Ли в бозонных и фермионных Фоковских пространствах, двойственность Хау.
- Подалгебра Картана, корневые векторы, корневое разложение, базис Шевалле, решетки корней и весов.
- Весовые представления, представления старшего и младшего веса, решетка весов представления, характер представления, представления из "категории O".
- Простые корни, диаграммы Дынкина, классификация простых комплексных алгебр Ли, восстановление алгебры Ли по диаграмме Дынкина.
- Группа Вейля, камеры Вейля, доминантные веса, интегральные веса, элементы структурной теории модулей Верма, ряд Жордана-Гельдера для модуля Верма, кратности простых подфакторов, сингулярные, субсингулярные и т.д. векторы, теорема Каца-Каждана, строение "категории O", функтор сдвига.
- Когомологии Шевалле алгебр Ли, интерпретация младших когомологических групп, центральные расширения, аффинные алгебры, алгебра Вирасоро.
- Когомологии Хохшильда, элементы теории деформации, скобка Герштенхабера. Элементарнейшие понятия из теории категорий.
- Основные вычислительные средства: диаграммный поиск, леммы о "змее" и о пяти гомоморфизмах, длинные точные последовательности когомологий, алгебраическая гомотопия, тик-так-тэу процедура нахождения гомологий бикомплекса, резольвенты и простейшие спектральные последовательности.
- Вычисления когомологий с коэффициентами в конечномерных неприводимых представлениях для простых алгебр Ли и их подалгебр, резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда.
- Пуассоновы алгебры, деформации пуассоновых алгебр, понятие деформационного квантования.
- Группы Пуассона-Ли, скобка Склянина, квантовые группы.
- Квантовые универсальные обертывающие полупростых алгебр Ли, квазитензорные категории, универсальная R матрица, уравнение Янга-Бакстера.
- Квантовая sl(2), представления при общем параметре деформации. Квантовая sl(2) и ее представления в корне из единицы, бесконечно-мерный центр.